Легкой атлетикой Тамара, а потом и ее младшая сестра Ирина начали заниматься в Самарканде, куда семья Пресс эвакуировалась из оккупированного Харькова. Тамара была девочкой рослой и сильной.
Это сразу заметил Владимир Пантелеймонович Бессекерных, в группе которого занимались сестры. Постепенно тренер перевел ученицу на целенаправленную подготовку в метаниях, и Тамара довольно быстро зашагала вверх по ступенькам спортивных разрядов. Вскоре Бессекерных понял, насколько талантлива его юная ученица.
Выпускник Ленинградского института физкультуры Бессекерных продолжал следить за достижениями ленинградских легкоатлетов, и особенно уже приобретшей широкую известность школы Алексеева. Понимая, что Тамаре для дальнейшего совершенствования нужны будут иные условия, нежели у них в Самарканде, Бессекерных написал письмо Алексееву с просьбой взять шефство над Пресс.Виктор Ильич письмо получил и по вложенной в него фотографии узнал Тамару во время той случайной встречи в Москве. А на следующий год, закончив школу, Тамара приехала в Ленинград, где стала студенткой инженерно-строительного института и ученицей алексеевской школы. Именно ученицей-первоклашкой чувствовала себя Тамара в компании знаменитых воспитанников Алексеева во главе с олимпийской чемпионкой Галиной Зыбиной. Но робела Пресс не долго. Созданная Виктором Ильичом доброжелательная атмосфера школы уравнивала на занятиях и чемпионов, и новичков.
Все они трудились, насколько хватало сил, до изнеможения. И менее чем через два года спортивный мир узнает о рождении новой легкоатлетической звезды. Тамара становится чемпионкой СССР в толкании ядра, а месяц спустя и чемпионкой Европы в метании диска. С этого момента и начинается победное шествие Тамары Пресс по стадионам страны и мира. Она 16 раз побеждает на чемпионатах СССР (9—в толкании ядра и 7—в метании диска). На чемпионатах Европы 1958 и 1962 гг. завоевывает 3 золотые (2—в метании диска и 1 — в толкании ядра) и 1 бронзовую медаль. Становится трехкратной олимпийской чемпионкой 1960 и 1964 гг. (дважды в толкании ядра и один раз в метании диска) и еще серебряным призером Олимпиады-60 в метании диска. Наконец, за 9 лет устанавливает 12 рекордов мира—по 6 в толкании ядра и метании диска, «поправив» рекорды соответственно на 1,89 м и 2,66 м. Достижения Тамары отмечены орденами Ленина и «Знак Почета». Была она названа и лучшей спортсменкой мира по итогам года, награждена призом Хэлмса, удостоена еще многих других почетных наград и призов. После завершения спортивной карьеры занималась тренерской (и даже подготовила мастеров спорта) и научной работой. Стала кандидатом педагогических наук. Но затем нашла свое призвание в профсоюзной работе, став с 1967 г. работником ВЦСПС. А когда было создано Всесоюзное добровольное физкультурно-спортивное общество профсоюзов, Тамара Натановна Пресс была избрана заместителем председателя российского совета этого общества.